어떻게 문제를 풀 것인가? (How to Solve It?)

어떻게 문제를 풀 것인가? (How to Solve It?)

문제해결이란 무엇인가? 우선 '문제란 학생이 목표달성을 원하지만 실제로 그 목표를 달성하기 위한 방법을 모르고 있는 상황'이라고 정의를 내릴 수 있다. 이러한 문제를 해결한다는 것은 이미 배운 원리를 응용하며 여러 가지 새로운 상황에서 당면하는 문제들에 대한 해결방안을 발견하는 것을 말한다. 다시 말해, 새로운 원리를 형성하기 위해서 기존의 원리를 조합하여 문제해결의 아이디어를 찾아내는 것을 의미하며 개념학습과 원리학습이 이루어진 다음에야 문제해결학습이 가능하다고 할 수 있다.

문제를 어떻게 하면 해결할 수 있을까? 문제해결에 대한 내용으로 오늘은 파인만 알고리즘과 조지 폴리아의 문제해결 4단계 전략을 살펴보고자 한다.

파인만 알고리즘 (Feynman Algorithm)

물리학자 리차드 파인만이 썼다는 문제해결 알고리즘이다,

이 세상의 어떠한 어려운 문제도 간단히 해결할 수 있게 해 주는 우주 최강의 무적알고리즘이다.

The Feynman Problem-Solving lgorithm:

(1) Write down the problem;
(2) think very hard
(3) write down the answer.

(번역)

파인만의 문제해결 알고리즘:

(1) 문제를 쓴다.
(2) 매우 깊게 생각한다.
(3) 답을 쓴다.

물리학자인 리차드 파인만이 썼다는 문제해결 알고리즘... (2)에서 막히는 경우는 (4)로 분기한다.

(4) 잠을 잔다.
(5) 다시 깊게 생각한다.
(6) 답을 쓴다.

(5)에서 막히면 다시 (4로) 가면 된다.

참 쉽죠를 연상하게 하는 답답한 알고리즘이다...

좀더 현실적으로 나와 같은 일반인에게 와닿는 문제해결 전략으로 조지 폴리아의 문제해결 4단계를 살펴보자

조지 폴리아의 문제해결 4단계

이 방식이 좀더 현실적으로 나에게 와닿는 문제해결 전략이다.

먼저, 폴리아는 누구인가?

수학교육자였던 폴리아(George Polya, 1887-1985)는 문제 해결을 수학교육의 논의 대상으로 부각시킨 최초의 학자라고 한다. 수학교육 뿐 아니라 순수수 학에서도 굉장한 업적을 이루어 놓고 있는데 그의 이름 이 붙어 있는 정리만도 꽤 된다고 한다. 수학자로는 비교적 고전주의였으나 수학교육자로는 선각자라고 할 수 있었던 그는 자신이 어떤 결과를 찾아내었던 과정에 늘 관심을 갖고 그 방면을 체계적으로 정리하여 오늘날 문제해결이라고 하는 수학교육상의 한 주류를 형성해 놓고 있다. 문제해결의 과정을 규명해 보고 그것을 지도 하는 것에 대해 오랫동안 연구와 강의를 계속해 왔던 그는 이 방면의 저서로 ‘어떻게 문제를 풀 것인가’, ‘수학적 발견’등을 남겨 놓았다.

 

폴리아 문제 해결 4단계

 

1. 문제에 대한 이해

 :문제의 뜻, 주어진 조건, 해결해야 할 목표, 상황들을 파악하여 주어진 문제를 충분히 이해한다.

문제를 설명하는 언어적 진술을 이해한다.
문제의 주요 부분, 미지인 것, 자료, 조건 등을 지적하고 조건을 여러 부분으로 분해한다.
문제의 주요 부분을 주의 깊게 반복하여 여러 측면에서 살펴보고 문제를 명확하게 이해하여야 한다.

 

이 단계에서 도움이 되는 질문과 조언들은 아래에 있다.
- 문제의 말을 모두 이해하였는가?
- 문제를 자신의 말로 다시 서술할 수 있는가?
- 주어진 조건, 자료들은 무엇인가?
- 미지의 것은 무엇인가?
- 도달하여야 하는 목표는 무엇인가?
- 조건은 만족될 수 있는가?
- 정보는 충분한가?
- 불필요한 정보는 없는가?
- 조건을 여러 부분으로 분해하라.
- 그림을 그려보고, 적절한 기호를 붙여보라.

 

2. 해결 계획의 작성

:일정한 규칙 찾기, 공식의 활용, 비슷하 문제 떠올리기, 거꾸로 문제풀기, 어림, 문제 쪼개기,

단순화하기 그림으로 스케치하기, 경우의 수로 나누어 풀기, 식세우기 등  새로운 원리를 형성하기 위해서 기존에 자신이 알고있던  원리를 조합하여 문제해결의 아이디어를 찾아내는 것

문제 해결의 윤곽을 잡는 단계!!!
미지인 것을 얻기 위해 어떤 계산 등이 필요한지 알게 되거나 윤곽을 잡는다면, 그것을 통해서 계획을 세울 수 있다.

다음의 조언들을 활용하여 문제 해결을 위한 계획을 설정하여야 한다.
- 전에 비슷한 문제나 약간 변형된 다른 형태로 된 문제를 본 일이 있는지를 살펴보자.
- 정의로 되돌아가서 좀 더 다르게 진술할 수 있는지를 살펴보자.
- 관련된 문제로 전에 풀어본 일이 있으며, 그 결과나 방법을 활용할 수 있는지를 살펴보자.
- 어떤 보조 요소를 도입하면 그것을 활용할 수 있는지를 살펴보자.
- 문제를 달리 진술할 수 있는가? 만일 제기된 문제를 풀 수 없다면 먼저 어느정도 그와 관련된 문제를 찾아보자.
- '자료는 모두 활용했는가?', '조건을 모두 활용했는가?'를 살펴보자.

 

문제해결을 위해 자주 활용되는 계획들은 다음과 같다.
- 추측하고 점검하기
- 변수 사용하기
- 패턴 찾기
- 리스트 만들기
- 유사 문제 풀기
- 그림 이용
- 도표 이용
- 직/간접 추론하기
- 수의 성질 이용하기
- 동치인 문제로 변환
- 거꾸로 풀기
- 방정식으로 풀기
- 공식찾기
- 시물레이션 해보기
- 모델 사용하기
- 부분 목표 찾기
- 기타

 

 

3. 계획의 실행 (문제해결)

: 수립한 계획대로 문제를 풀어 정답을 구한다. 다른 방법도 가능한지 살펴보고 실천해보고 답을 비교해본다.

문제의 해답을 구하는 단계로 문제의 계획을 완벽하게 실행할 때까지 자신이 세운 계획을 잊어버리지 않도록 하여야 한다.

 

아래의 조언들을 참고하자.
- 문제를 풀 때까지 또는 다른 방도가 생길 때까지 선택한 전략을 수행한다.
- 충분한 시간을 투자하고 그래도 잘 되지 않을 때에는 다른 힌트를 찾거나 문제를 잠시 덮어 둔다.
- 새로 시작하는 것을 두려워 말고 새로운 전략으로 새로 시작하는 것이 통하는 경우도 많이 있음을 명심한다.

 

 

4. 반성하기 (검토와 최종점검, 돌아보기)

: 풀이과정과 정답을 점검하고 검산하고, 첫 단계부터 다른 해경 방법이 있는지도 검토한다.

,또한 비슷한 문제를 직접 만들어본다면 이와 같은 문제의 골격과 원리를 이해할 수 있다.

완성된 풀이를 검토하고 그 결과와 그 결과에 이르게 된 과정을 재고하고 검사함으로써 획득한 지식을 견고하게 하고 문제를 해결할 수 있다.
계획을 실행할 때 매 단계를 점검하면서 풀이를 기술하였을지라도 오류는 항상 있을 수 있음을 인식하고 아래의 팀을 참고하여 검증한다.

- 구한 결과는 맞는가? 구한 결과가 문제의 조건을 만족하는가?
- 보다 쉬운 결과는 없는가?
- 구한 결과를 보다 일반적인 경우로 확장할 수 있는가?

참고자료
http://cafe.naver.com/factos/47237

http://myri.tistory.com/entry/%EB%AC%B8%EC%A0%9C-%ED%95%B4%EA%B2%B0-%EC%96%B4%EB%96%BB%EA%B2%8C-%ED%95%A0%EA%B9%8C-%ED%8F%B4%EB%A6%AC%EC%95%84%EC%9D%98-%EB%AC%B8%EC%A0%9C-%ED%95%B4%EA%B2%B0-4%EB%8B%A8%EA%B3%84

https://namu.wiki/w/%ED%8C%8C%EC%9D%B8%EB%A7%8C%20%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98